Question

关于二项式（x-1）²⁰⁰⁹有下列命题：
①该二项式中非常数项的所有各项系数的和为1．
②该二项式展开式的第5项是-C₂₀₀₉⁵x²⁰⁰⁴．
③该二项式中系数最大的项是第1005项．
④当x=2009时，（x-1）²⁰⁰⁹除以2009的余数为2008．
其中正确命题的序号是     ．（把你认为正确的都填上）

Answer

利用赋值求出各项系数和，判断出命题①正确；利用二项展开式的通项公式求出第5项，判断出命题②错误；据二项展开式的二项式系数的性质：中间项的二项式系数最大，判断出命题③正确；利用二项式定理将二项式展开，判断出命题④正确．
【解析】
此二项展开式各项系数的和为0，其常数项为-1，故①正确；
其第5项T5=C20094x2009-4•（-1）4=C20094x2005，故②错；
该二项展开式共有2010项，奇数项系数为正、偶数项系数为负，
由二项式系数的性质知第1005项与1006项系数的绝对值最大，故③正确；
（x-1）2009=（x2009-C20091x2008+C20092x2007-+C20092008x）-1=（x2008-C20091x2007+C20092x2006-+C20092008-1）x+x-1．当x=2009时，被2009除的余数为2009-1=2008．故④正确．
故答案为①③④