Question

若数列{a_n}的通项公式为a_n=（1+）ⁿ，
试证：（1）数列{a_n}为递增数列；
（2）2≤a_n≤3．

Answer

（1）由题设条件知an=1+Cn1+Cn2（）2+…+Cnn（）n，an+1=（1+）n+1
=1+Cn+11+Cn+12（）2+…+Cn+1n（）n+1．由此可知an＜an+1，即{an}为递增数列．
（2）由题意知an=1+Cn1+Cn2（）2++Cnn（）n≥1+Cn1=2，由此可知an=1+Cn1+Cn2（）2++Cnn（）n≤2+++…+=3-＜3．
证明：（1）an=（1+）n=1+Cn1+Cn2（）2+…+Cnn（）n，an+1=（1+）n+1
=1+Cn+11+Cn+12（）2+…+Cn+1n（）n+1．
可观察Cn+1k（）k与Cnk（）k，当k=0，1时，
Cn+1k（）k=Cnk（）k；当k=2，3，4，，n时，
Cn+1k（）k＞Cnk（）k．∴an＜an+1，即{an}为递增数列．
（2）∵an=（1+）n
=1+Cn1+Cn2（）2++Cnn（）n≥1+Cn1=2，
又an=（1+）n=1+Cn1+Cn2（）2++Cnn（）n≤2+++…+=3-＜3．