Question

轻纺城的一家私营企业主，一月初向银行贷款一万元作开店资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需要交纳房租和所得税为该月所得金额（包括利润）的10%，每月的生活费开支300元，余款作为资金全部投入再经营，如此继续，问该年年底，该私营企业主有现款多少元？如果银行贷款的年利率为5%，问私营企业主还清银行贷款后纯收入还有多少元？

Answer

由题意知设第n个月月底余an，第n+1个月月底余an+1，则能够推导出an+1-3750=1.08（an-3750），设bn=an-3750，b1=6750，则{bn}是等比数列bn=b1×1.08n-1，由此可知an=6750×1.08n-1+3750，a12=6750×1.0811+3750≈19488.6，进而可得答案．
【解析】
第一个月月底余
a1=（1+20%）×10000-（1+20%）×10000×10%-300=10500元，
设第n个月月底余an，第n+1个月月底余an+1，
则an+1=an（1+20%）-an（1+20%）×10%-300=1.08an-300（n≥1），
从而有an+1-3750=1.08（an-3750），
设bn=an-3750，b1=6750，∴{bn}是等比数列bn=b1×1.08n-1，
∴an=6750×1.08n-1+3750，a12=6750×1.0811+3750≈19488.6，
还贷后纯收入为a12-10000（1+5%）=8988.60元．