Question

如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为边长为1的等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点．
（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）证明：SA⊥BC；
（Ⅲ）求三棱锥S-ABC的体积．

Answer

（Ⅰ）要证明SO⊥平面ABC，只需证明SO垂直平面ABC内的两条相交直线BC、AO即可．
（Ⅱ）要证明SA⊥BC，只需证明BC垂直SA所在平面SAD即可；
（Ⅲ）求三棱锥S-ABC的体积，求出底面面积和高即可求其体积．
【解析】
（Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC=SA，连接OA，△ABC为等腰直角三角形，
所以，且AO⊥BC，又△SBC为等腰三角形，SO⊥BC，且，从而OA2+SO2=SA2．
所以△SOA为直角三角形，SO⊥AO．
又AO∩BO=O．所以SO⊥平面ABC．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知SO⊥BC，AO⊥BC，SO∩AO=O得，BC⊥平面SAO；
而SA⊂平面SAO，所以SA⊥BC．（10分）
（Ⅲ）易知，．（13分）