Question

已知α∈R，f（x）=（x²-2）（x-a）．
（Ⅰ）求f（x）的导函数f′（x）；
（Ⅱ）若f′（1）=0．求f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若|a|＜，求证：当x∈（-∞，-2）和x∈（-2，∞）时，f（x）都是单调增函数．

Answer

（Ⅰ）要求f（x）的导函数f′（x）方法用求导法则直接求出即可；
（Ⅱ）由f′（1）=0确定出a的值，令导函数f′（x）=0求出稳定点，在[-1，2]区间内讨论增减性确定最值即可； （Ⅲ）f′（x）与零的大小决定此函数的增减性，所以主要是判断f′（x）是否大于或小于零得到即可．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=x3-ax2-2x+2a
∴f'（x）=3x2-2ax-2
（Ⅱ），则f（x）=（x2-2）（），f′（x）=3x2-x-2=（x-1）（3x+2）
令f′（x）=0解得x=1或x=
当x在区间[-1，2]上变化时，y′，y的变化情况如下表：

又
∴f（x）在区间[-1，2]的最大值为f（2）=3，最小值为．
（Ⅲ）证明：∵，
又，
∴当x∈（-∞，-2）和（2，+∞）时，f'（x）＞f'（2）或f'（x）＞f'（-2）．
∵
∴f（x）在x∈（-∞，-2）和（2，+∞）上都是增函数．