Question

[理]已知A、B是抛物线y²=4x上两点，且•=0，则原点O到直线AB的最大距离为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．8

Answer

设直线AB的方程为x=my+b，代入抛物线方程消去x，求得y1+y1．设A（x1，y1），B（x2，y2），由•=x1x2+y1y2整理可得（m2+1）（-4b）+4m2b+b2=b2-4b=0，求得b的值，再根据原点到直线AB的距离为判断当m=0时距离最大，进而求得答案．
【解析】
设直线AB的方程为x=my+b，代入抛物线方程可得y2-4my-4b=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
由•=x1x2+y1y2=（my1+b）（my2+b）+y1y2=（m2+1）y1y2+mb（y1+y2）+b2=（m2+1）（-4b）+4m2b+b2=b2-4b=0，
解之得b=4或b=0（舍去），
即直线AB的方程为x=my+4，原点到直线AB的距离为d=，
当m=0时，d最大值=4．
故选C