Question

根据下列条件求抛物线的标准方程．
（1）抛物线的焦点是双曲线16x²-9y²=144的左顶点；
（2）过点P（2，-4）；
（3）抛物线的焦点在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，|AF|=5．

Answer

（1）首先求出双曲线16x2-9y2=144的左顶点；进而根据抛物线是双曲线的左定点，求得p，进而求出抛物线的标准方程．
（2）先设抛物线的标准方程为y2=mx，把点p代入方程，求得m进而的出抛物线的标准方程．
（3）设抛物线的标准方程y2=2px和点A（m，-3），根据抛物线的定义可求出m，进而求p得出抛物线的方程．
【解析】
（1）双曲线方程化为-=1，左顶点为（-3，0），由题意设抛物线方程为y2=-2px（p＞0）且=-3，
∴p=6，
∴方程为y2=-12x．
（2）由于P（2，-4）在第四象限且抛物线的对称轴为坐标轴，可设方程为y2=mx或x2=ny．
代入P点坐标求得m=8，n=-1，
∴所求抛物线方程为y2=8x或x2=-y．
（3）设所求焦点在x轴上的抛物线方程为
y2=2px（p≠0），A（m，-3），
由抛物线定义得5=|AF|=|m+|．
又（-3）2=2pm，
∴p=±1或p=±9，
故所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x．