Question

在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线y²=4x相交于不同的A、B两点．
（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求的值；
（Ⅱ）如果=-4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

Answer

（Ⅰ）根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，表达出两个向量的数量积．
（Ⅱ）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于-4，做出数量积表示式中的b的值，即得到定点的坐标．
【解析】
（Ⅰ）由题意：抛物线焦点为（1，0）
设l：x=ty+1代入抛物线y2=4x消去x得，
y2-4ty-4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）
则y1+y2=4t，y1y2=-4
∴=x1x2+y1y2=（ty1+1）（ty2+1）+y1y2
=t2y1y2+t（y1+y2）+1+y1y2
=-4t2+4t2+1-4=-3．

（Ⅱ）设l：x=ty+b代入抛物线y2=4x，消去x得
y2-4ty-4b=0设A（x1，y1），B（x2，y2）
则y1+y2=4t，y1y2=-4b
∴=（ty1+b）（ty2+b）+y1y2
=t2y1y2+bt（y1+y2）+b2+y1y2
=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b
令b2-4b=-4，∴b2-4b+4=0∴b=2．
∴直线l过定点（2，0）．