Question

已知A、B两点在抛物线C：x²=4y上，点M（0，4）满足=λ．
（1）求证：⊥；
（2）设抛物线C过A、B两点的切线交于点N．
①求证：点N在一条定直线上；
②设4≤λ≤9，求直线MN在x轴上截距的取值范围．

Answer

先设A，B的坐标和直线AB的方程，再联立直线与抛物线方程消去y得到关于x的一元二次方程得到两根之和与两根之积．
（1）根据向量的数量积运算表示出•，然后将所求的两根之和与两根之积代入即可得到：•=0，进而的得证．
（2）①先表示出过点A的切线和过点B的切线，然后两直线联立可求出点N的坐标，即可得到点N在定直线y=-4上．
②根据=λ可知（x1，y1-4）=λ（-x2，4-y2），进而可联立方程可求得k2的表达式，进而求得k2的范围，最后根据直线MN在x轴的截距为k，进而可得答案．
【解析】
设A（x1，y1），B（x2，y2），lAB：y=kx+4与x2=4y联立得x2-4kx-16=0，
△=（-4k）2-4（-16）=16k2+64＞0，
x1+x2=4k，x1x2=-16，
（1）证明：•
=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+4）（kx2+4）
=（1+k2）x1x2+4k（x1+x2）+16
=（1+k2）（-16）+4k（4k）+16=0，
∴⊥．
（2）①证明：过点A的切线：
y=x1（x-x1）+y1=x1x-x12，①
过点B的切线：y=x2x-x22，②
联立①②结合（1）的结论得点N（，-4），
所以点N在定直线y=-4上．
②∵=λ，∴（x1，y1-4）=λ（-x2，4-y2），
联立可得
k2===λ+-2，4≤λ≤9，
∴≤k2≤．
直线MN：y=x+4在x轴的截距为k，
∴直线MN在x轴上截距的取值范围是
[-，-]∪[，]．