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在正△ABC中,E,F,P分别是AB,AC,BC边上的点,满足manfen5.com 满分网,将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连接A1B,A1P.
(1)求证:A1E⊥平面BEP;
(2)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小.
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(1)取BE的中点D,连接DF.说明∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角,证明二面角A1-EF-B为直二面角,证明A1E┴平面BEF,即可证明A1E⊥平面BEP; (2)建立空间直角坐标系,求出,平面A1BP的法向量,利用,求直线A1E与平面A1BP所成角的大小. 【解析】 不妨设正三角形的边长为3. (1)在图1中,取BE的中点D,连接DF. ∵,AF=AD=2,又∠A=60°,△ADF为正三角形. 又∵AE=ED=1, ∴EF┴AD, ∴在图2中有A1E┴EF,BE┴EF. ∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角. ∵二面角A1-EF-B为直二面角, ∴A1E┴BE 又∵BE∩EF=E, ∴即A1E┴平面BEF,即A1E┴平面BEP (2)由(1)可知,A1E┴平面BEP,BE┴EF,建立坐标系则E(0,0,0),A1(0,0,1),(2,0,0), F(0,,0),D(1,0,0),不难得出EF∥DP且EF=DP,DE∥EP且DE=FP. 故P点的坐标为(1,,0), ∴ 设平面A1BP的法向量=(x,y,z), 则 ∴. ∴ ∴A1E与平面A1BP所成角的大小为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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