Question

已知数列{a_n}满足a₂=2，（n-1）a_n+1-na_n+1=0（n∈N^*），求数列{a_n}的通项．

Answer

本题考查的知识点是数列的相关性质及数学归纳法．由（n-1）an+1-nan+1=0，a2=2，我们要以依次求出数列的前几项，分析规律后，可归纳出数列的通项公式，但归纳推理的结论不一定正确，故我们可以用数学归纳法，对归纳推理的结论再进行证明．
【解析】
（1）当n=1时，a1=1，
a1=1，可得a3=3，猜想an=n．
证明如下：
当n=1，2时，猜想成立，
当n≥2时，递推式为（n-2）an-（n-1）an-1+1=0
故当n=k+1时，（k-1）ak+1-kak+1=0
即（k-1）ak+1-k2+1=0
∵k≥2，
∴k-1≠0，
∵ak+1=k+1，即n=k+1时猜想成立
∴n∈N*有an=n