Question

已知函数（a≠0且a≠1）．
（Ⅰ）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调递增区间；
（Ⅱ）已知当x＞0时，函数在上单调递减，在上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（Ⅲ）记（Ⅱ）中的函数的图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）对函数f（x）进行求导，令导函数大于0根据a的不同值求出x的范围．
（2）令f'（）=0求出a即可得到答案．
（3）假设存在且设直线方程y=kx，根据点的对称求出直线斜率即可得到答案．
【解析】
（Ⅰ）由题设知：．
①当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为；
②当0＜a＜1时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0）及（0，+∞）；
③当a＞1时，函数f（x）的单调递增区间为及．
（Ⅱ）由题设及（Ⅰ）中③知且a＞1，解得a=3，
因此，函数解析式为（x≠0）．
（Ⅲ）假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴，显然x、y轴不是曲线C的对称轴，
故可设l：y=kx（k≠0），设P（p，q）为曲线C上的任意一点，P'（p'，q'）与P（p，q）关于直线l对称，且p≠p'，q≠q'，
则P'也在曲线C上，由此得，，且，，
整理得，解得或，
所以存在直线及为曲线C的对称轴．