Question

已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线上，且=．
（Ⅰ）求x₁+x₂的值及y₁+y₂的值
（Ⅱ）已知S₁=0，当n≥2时，S_n=+++，求S_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设a_n=，T_n为数列{a_n}的前n项和，若存在正整数c、m，使得不等式成立，求c和m的值．

Answer

（Ⅰ）设出M的坐标，求出，．利用=．求出x1+x2的值，再用求出y1+y2的值．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，，化简Sn=+++，可求Sn；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，利用an=，Tn为数列{an}的前n项和，求出Tn的表达式，
结合不等式，推出c，m的范围，正整数c、m，可得c和m的值．
【解析】
（Ⅰ）∵点M在直线x=上，设M．又=，
即，，
∴x1+x2=1．（2分）
①当x1=时，x2=，y1+y2=f（x1）+f（x2）=-1-1=-2；
②当x1≠时，x2≠，
y1+y2=+=
==；
综合①②得，y1+y2=-2．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x1+x2=1时，y1+y2=-2．
∴，k=1，2，3，，n-1．（7分）
n≥2时，Sn=+++，①
Sn=，②
①+②得，2Sn=-2（n-1），则Sn=1-n．
n=1时，S1=0满足Sn=1-n．
∴Sn=1-n．（10分）
（Ⅲ）an==21-n，Tn=1++=.⇔⇔．Tm+1=2-，2Tm-Tm+1=-2+=2-，
∴，c、m为正整数，
∴c=1，
当c=1时，，
∴1＜2m＜3，
∴m=1．（14分）