Question

如图，已知正方形ABCD与矩形BEFD所在的平面互相垂直，AB=，DF=1，P是线段EF上的动点．
（Ⅰ）若点O为正方形ABCD的中心，求直线OP与平面ABCD所成角的最大值；
（Ⅱ）当点P为EF的中点时，求直线BP与FA所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角A-EF-C的大小．

Answer

（Ⅰ）当P是线段EF的中点时，OP⊥平面ABCD，直线OP与平面ABCD所成的角最大，当P是线段EF的端点时，OP与平面ABCD所成的角最小．
（Ⅱ）FO∥PB，∠AFO是直线BP与FA所成的角，解直角三角形AFO，求出此角的正弦值．
（Ⅲ）取EF的中点P，∠APC是二面角A-EF-C的平面角，通过计算三角形APC的边长求出∠APC的大小．
【解析】
（Ⅰ）连接OP．设OP与平面ABCD所成角为α，则．
当P是线段EF的中点时，OP⊥平面ABCD，直线OP与平面ABCD所成的最大角是．（4分）
（Ⅱ）连接AF、FC、OF．
易证FO∥PB，
∴∠AFO是直线BP与FA所成的角．（5分）
依题意，在等腰△AFC中，FO⊥AC，△AFO为直角三角形．
∵AD=，DF=1，
∴AF=．又AO=，
∴在Rt△AOF中，．（8分）
（Ⅲ）连接AE、EC，则AF=FC=AE=EC=．取EF的中点P，连接AP、CP，AP⊥EF，CP⊥EF，
则∠APC是二面角A-EF-C的平面角．（11分）
则等腰△AEF≌△CEF，
∴在△APC中，AP=CP=．
又AC=2，
∴△APC是直角三角形．
且．
∴二面角A-EF-C的大小是（14分）