Question

如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O₁为△ABC的内切圆，圆O₂与圆O₁外切，且与AB，BC相切，…，圆O_n+1与圆O_n外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去．记圆O_n的面积为a_n（n∈N）．
（Ⅰ）证明{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）求（a₁+a₂+…+a_n）的值．

Answer

（Ⅰ）记rn为圆On的半径，
则，，
于是，
由此可知{an}成等比数列．

（Ⅱ）由，能够导出（a1+a2+…+an）的值．
（Ⅰ）证明：记rn为圆On的半径，
则，

所以，
于是，

故{an}成等比数列．
（Ⅱ）【解析】
因为，
所以