Question

为了对2007年佛山市中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学分数（已折算为百分制）从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95．
（1）若规定85分（包括85分）以上为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；
（2）若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表：

用变量y与x、z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；
（3）求y与x、z与x的线性回归方程（系数精确到0.01），并用相关指数比较所求回归模型的效果．
参考数据：，，，，，，，，，，．

Answer

本题考查组合及运算、概率、相关系数的运算、回归直线方程的求法和回归模型的拟合效果判断等多方面知识和方法．
（1）先从物理的4个优秀分数中选出3个与数学优秀分数对应，种数是C43A33（或A43），然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是A55．则恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的选取种数为C43A33A55，问题得解；
（2）根据所给数据，以及相关系数公式计算可得物理与数学、化学与数学的相关系数，其相关程度易见；
（3）根据最小二乘法计算可得回归方程中的b和a，回归直线方程即得，通过相关指数R2的计算可以得到回归方程的拟合程度．
【解析】
（1）这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀，
则需要先从物理的4个优秀分数中选出3个与数学优秀分数对应，
种数是C43A33（或A43），然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，
种数是A55．根据乘法原理，满足条件的种数是C43A33A55． （2分）
这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有A88． （5分）
故所求的概率． （4分）

（2）变量y与x、z与x的相关系数分别是、．
可以看出，物理与数学、化学与数学的成绩都是高度正相关．（6分）

（3）设y与x、z与x的线性回归方程分别是、．
根据所给的数据，可以计算出，．（8分）
所以y与x和z与x的回归方程分别是、．（11分）
又y与x、z与x的相关指数是、． （11分）
故回归模型比回归模型的拟合的效果好．（12分）