Question

已知函数的导数为，记函数f（x）=x-kg（x）（x≥2，k为常数）．
（1）若函数f（x）在区间（2，+∞）上为减函数，求k的取值范围；
（2）求函数f（x）的值域．

Answer

（1）根据函数f（x）在区间（2，+∞）上为减函数可得到f（x1）-f（x2）关于x1，x2的关系式，然后转化为对x1，x2∈（2，+∞）恒成立的问题，即可得到k的取值．
（2）对函数f（x）进行求导，然后分两种情况讨论，当k≤0时易知函数f（x）是增函数，可直接求出值域；当k＞0时，又分三种情况k＞1、k=1、0＜k＜1根据导数的正负情况进行讨论，从而可得到函数的单调性确定值域．
【解析】
（1）因为f（x）在区间（2，+∞）上为减函数，
所以对任意的x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2恒有f（x1）-f（x2）＞0成立．
即恒成立．
因为x2-x1＞0，所以对x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2时，恒成立．
又＜1，所以k≥1．
（2）．
下面分两种情况讨论：
（1）当k≤0时，是关于x的增函数，值域为
（2）当k＞0时，又分三种情况：
①当k＞1时，因为，所以，即f'（x）＜0．
所以f（x）是减函数，．
又，
当x→+∞，f（x）→-∞，所以f（x）值域为．
②当k=1时，，
且f（x）是减函数，故f（x）值域是．
③当0＜k＜1时，f'（x）是增函数，
，．
下面再分两种情况：
（a）当时，f'（x）=0的唯一实根，
故f'（x）＞0（x≥2），是关于x的增函数，值域为；
（b）当时，f'（x）=0的唯一实根，
当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0；
所以f（x）．故f（x）的值域为．
综上所述，f（x）的值域为；
（）；（k=1）；（k＞1）．