Question

椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为、离心率为，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．
（I）求椭圆方程；
（II）求m的取值范围．

Answer

（1）先设椭圆的标准方程，根据短轴长为、离心率为可求出a，b，c的值，从而得到答案．
（2）先设l与椭圆C交点为A、B的坐标，然后联立直线和椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程，进而得到两根之和、两根之积，再表示出再将两根之和、两根之积代入可得，整理可得＞0解出m的范围．
【解析】
（I）设C：=1（a＞b＞0），设c＞0，c2=a2-b2，
由条件知2b=，，
∴a=1，b=c=
故C的方程为：
（II）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）
由得（k2+2）x2+2kmx+（m2-1）=0
得（k2+2）x2+2mx+（m2-1）=0
△=（2km）2-4（k2+2）（m2-1）=4（k2-2m2+2）＞0（*）
，
∵∴-x1=3x2
∴
得3（x1+x2）2+4x1x2=0，
∴
整理得4k2m2+2m2-k2-2=0
m2=时，上式不成立；m2时，，
由（*）式得k2＞2m2-2
因k≠0∴＞0，
∴-1＜m＜-或＜m＜1
即所求m的取值范围为（-1，-）∪（，1）．