Question

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（Ⅱ）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；
（Ⅲ）是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先假设相遇时小艇的航行距离为S，根据余弦定理可得到关系式S=整理后运用二次函数的性质可确定答案．
（2）先假设小艇与轮船在某处相遇，根据余弦定理可得到（vt）2=202+（30t）2-2•20•30t•cos（90°-30°），再由t的范围可求得v的最小值．
（3）根据（2）中v与t的关系式，设然后代入关系式整理成400u2-600u+900-v2=0，将问题等价于方程有两个不等正根的问题，进而得解．
【解析】
（1）设相遇时小艇的航行距离为S海里，则
S=
==
故当t=时，，v=
即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
（2）设小艇与轮船在某处相遇
由题意可得：（vt）2=202+（30t）2-2•20•30t•cos（90°-30°）
化简得：=400
由于0＜t，即
所以当时，v取得最小值10
即小艇航行速度的最小值为10海里/小时
（3）由（2）知：，设（u＞0）
于是400u2-600u+900-v2=0①
小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程①应有两个不等正根，即
，解得15＜v＜30
所以，v 的取值范围是（15，30）