Question

设椭圆C₂：=1（a＞b＞0），抛物线C₂：x²+by=b²．
（1）若C₂经过C₁的两个焦点，求C₁的离心率；
（2）设A（0，b），，又M、N为C₁与C₂不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为，且△QMN的重心在C₂上，求椭圆C和抛物线C₂的方程．

Answer

（1）由已知椭圆焦点（c，0）在抛物线上，可得：c2=b2，由a2=b2+c2，求得C1的离心率；
（2）由题设可知M、N关于y轴对称，设M（-x1，y1），N（x1，y1）（x1＞0），由△AMN的垂心为B，根据三角形的垂心是三条高线的交点，可知，再根据三角形的重心坐标公式求得△QMN的重心，代入抛物线C2：x2+by=b2，即可求得椭圆C和抛物线C2的方程．
【解析】

（1）由已知椭圆焦点（c，0）在抛物线上，可得：c2=b2，
由．
（2）由题设可知M、N关于y轴对称，设M（-x1，y1），N（x1，y1）（x1＞0），由△AMN的垂心为B，有．
由点N（x1，y1）在抛物线上，x12+by1=b2，解得：
故，
得△QMN重心坐标．
由重心在抛物线上得：，，
又因为M、N在椭圆上得：，
椭圆方程为，抛物线方程为x2+2y=4．