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已知双曲线manfen5.com 满分网的左、右顶点分别为A1,A2,点P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不同的两个动点.
(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程;
(2)若过点H(0,h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点,且l1⊥l2,求h的值.
(1)先确定直线A1P与A2Q的方程;再联立方程组解之(相乘处理);最后利用点P(x1,y1)在双曲线上,消去参数x1、y1(整体消元)求出轨迹E的方程; (2)先由l1⊥l2设出两直线方程;再分别与椭圆方程联立,根据只有一个交点(即△=0)得出k、h的两个方程;最后解出h的值. 【解析】 (1)由A1,A2为双曲线的左右顶点知,, 则,, 两式相乘得, 因为点P(x1,y1)在双曲线上,所以,即, 所以,即, 故直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程为.(x≠,x≠0) (2)设l1:y=kx+h(k>0),则由l1⊥l2知,. 将l1:y=kx+h代入得, 即(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0, 若l1与椭圆相切,则△=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0,即1+2k2=h2; 同理若l2与椭圆相切,则. 由l1与l2与轨迹E都只有一个交点包含以下四种情况: [1]直线l1与l2都与椭圆相切,即1+2k2=h2,且,消去h2得,即k2=1, 从而h2=1+2k2=3,即; [2]直线l1过点,而l2与椭圆相切,此时,,解得; [3]直线l2过点,而l1与椭圆相切,此时,1+2k2=h2,解得; [4]直线l1过点,而直线l2过点,此时,,∴. 综上所述,h的值为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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