Question

已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为，且点（1，）在该椭圆上．
（I）求椭圆C的方程；
（II）过椭圆C的左焦点F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．

Answer

（1）设出椭圆的标准方程，根据离心率求得a和c关系，进而根据a2=b2+c2，求得a和b的关系，把点C坐标代入椭圆方程求得a，进而求得b，则椭圆方程可得．
（2）先看当l与与x轴垂直时，可求得A，B的坐标，进而求得三角形AOB的坐标，不符合题意；再看直线l斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），进而求得x1+x2和x1x2的表达式，进而表示出|AB|，进而求得圆的半径后表示出三角形AOB的面积，求得k，进而求得圆的半径，则圆的方程可得．
【解析】
（I）设椭圆C的方程为，由题意可得，
又a2=b2+c2，所以
因为椭圆C经过（1，），代入椭圆方程有
解得a=2
所以c=1，b2=4-1=3故椭圆C的方程为．
（Ⅱ）当直线l⊥x轴时，计算得到：，
，不符合题意．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），k≠0
由，消去y，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0
显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
又
=
=
即
又圆O的半径
所以
化简，得17k4+k2-18=0，即（k2-1）（17k2+18）=0，
解得（舍）
所以，，故圆O的方程为：．