Question

已知椭圆+=1（a＞b＞0），直线l与椭圆交于A、B两点，M是线段AB的中点，连接OM并延长交椭圆于点C．直线AB与直线OM的斜率分别为k、m，且km=-．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若直线AB经过椭圆的右焦点F，问：对于任意给定的不等于零的实数k，是否存在a∈[2，+∞]，使得四边形OACB是平行四边形，请证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）设出A，B，M的坐标，把A，B坐标代入椭圆的方程相减整理求得直线AB的斜率的表达式，同时利用m和km的表达式，整理求得b．
（Ⅱ）设出C和直线的方程代入椭圆的方程，根据OACB是平行四边形，推断出进而求得xc和yc的表达式，把点C代入椭圆，表示出k2，进而利用a的范围求得k2的范围，进而求得k的范围，进而得出结论．
【解析】
（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），
则，
两式相减，得：
又，，
∴，③
又∵，∴，∴b=1
（Ⅱ）设C（xC，yC），直线AB的方程为y=k（x-c）（k≠0），
代入椭圆方程，
得（a2k2+1）x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2=0
若OACB是平行四边形，则
∴xc=x1+x2=，
yc=y1+y2=k（x1-c）+k（x2-c）=k（x1+x2-2c）=
∵C在椭圆上∴
∴
∴4k2-c2（a2k2+1）=（a2k2+1）2 ∴
4k2c2=a2k2+1∴k2=
∵c2=a2-1，a∈[2，+∞]，∴k2=
∴-≤k≤且k≠0
∴当-≤k≤且k≠0时，存在a∈[2，+∞]，
使得四边形OACB是平行四边形；
当k＜-或k＞时，不存在a∈[2，+∞]，
使得四边形OACB是平行四边形．