Question

已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P（2，0）为定点．
（Ⅰ）若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若动圆M过点P，且圆心M在抛物线C上运动，点A、B是圆M与y轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）直接利用焦点坐标和抛物线的系数之间的关系即可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）先设出圆M的方程找到|AB|的长（用圆心M的坐标来表示），在利用圆心M在抛物线C上运动，把|AB|的长转化为与抛物线系数有关的形式，即可求出找到结论．
【解析】
（Ⅰ）设抛物线方程为y2=2px（p≠0），则抛物线的焦点坐标为（，0）．由已知，=2，即p=4，故抛物线C的方程是y2=8x．
（Ⅱ）设圆心M（a，b）（a≥0），点A（0，y1），B（0，y2）．
因为圆M过点P（2，0），则可设圆M的方程为（x-a）2+（y-b）2=（a-2）2+b2．令x=0，得y2-2by+4a-4=0．则y1+y2=2b，y1•y2=4a-4．
所以|AB|===．
设抛物线C的方程为y2=mx（m≠0），因为圆心M在抛物线C上，则b2=ma．
所以|AB|==．
由此可得，当m=4时，|AB|=4为定值．故存在一条抛物线y2=4x，使|AB|为定值4．