Question

已知定点A（0，-1），点B在圆F：x²+（y-1）²=16上运动，F为圆心，线段AB的垂直平分线交BF于P．
（I）求动点P的轨迹E的方程；若曲线Q：x²-2ax+y²+a²=1被轨迹E包围着，求实数a的最小值．
（II）已知M（-2，0）、N（2，0），动点G在圆F内，且满足|MG|•|NG|=|OG|²，求的取值范围．

Answer

（I）由题意得|PA|=|PB|，得到|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4＞|AF|=2，根据椭圆的定义可求得动点P的轨迹E的方程；根据椭圆的几何性质（有界性），可求得实数a的最小值；
（II）设G（x，y），并代入|MG|•|NG|=|OG|2，得到关于x，y的一个方程，点G在圆F：x2+（y-1）2=16内，得到关于x，y的一个不等式，可求得y的取值范围，把点G的坐标代入中，利用不等式的基本性质分析即可求得结果．
【解析】
（I）由题意得|PA|=|PB|，
∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4＞|AF|=2
∴P点轨迹是以A、F为焦点的椭圆．
设椭圆方程为=1（a＞b＞0），
则2a=4，a=2，a2-b2=c2=1，故b2=3，
∴点p的轨迹方程为=1
曲线Q：x2-2ax+y2+a2=1化为（x-a）2+y2=1，
则曲线Q是圆心在（a，0），半径为1的圆．
而轨迹E：=1为焦点在Y轴上的椭圆，短轴上的顶点为
结合它们的图象知：若曲线Q被轨迹E包围着，则--1
∴a的最小值为-+1；
（II）设G（x，y），由|MG|•|NG|=|OG|2
得：，
化简得x2-y2=2，即x2=y2+2
而=（x+2，y）•（x-2，y）=x2+y2-4=2（y2-1）．
∵点G在圆F内：x2+（y-1）2=16内，∴x2+（y-1）2＜16
又G满足x2=y2+2
∴y2+2+（y-1）2＜16⇒＜y＜⇒0≤y2＜，
∴-2≤2（y2-1）＜12+3，
∴的取值范围为）．