Question

在直角坐标系xOy中，点M到F₁、F₂的距离之和是4，点M的轨迹C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线l：y=kx+b与轨迹C交于不同的两点P和Q．
（1）求轨迹C的方程；
（2）当时，求k与b的关系，并证明直线l过定点．

Answer

（1）根据焦点坐标可求得c，根据M到两焦点距离和求得a，则b可求得，进而求得椭圆的方程．
（2）将直线方程代入曲线C的方程消去y，根据判别式大于0求得k和b的不等式关系，设出P（x1，y1），Q（x2，y2），根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，根据直线方程表示出y1•y2，推断出曲线C与x轴的负半轴交于点A（-2，0），进而可表示出和根据求得（x1+2）（x2+2）+y1y2=0．整理求得k和b的关系式，最后进行验证求得k和b的关系．
【解析】
（1）∵点M到，的距离之和是4，
∴M的轨迹C是长轴长为4，焦点在x轴上焦距为的椭圆，
其方程为．
（2）将y=kx+b，代入曲线C的方程，
整理得（1+4k2）x2+8kbx+4b2-4=0，
因为直线l与曲线C交于不同的两点P和Q，
所以△=64k2b2-4（1+4k2）（4b2-4）=16（4k2-b2+1）＞0．①
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．②
且y1•y2=（kx1+b）（kx2+b）=k2x1x2+kb（x1+x2）+b2．③
显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A（-2，0），
所以，，
由，得（x1+2）（x2+2）+y1y2=0．
将②、③代入上式，整理得12k2-16kb+5b2=0，
所以（2k-b）（6k-5b）=0，即b=2k或．经检验，都符合条件①．
当b=2k时，直线l的方程为y=kx+2k．
显然，此时直线l经过定点（-2，0）点．即直线l经过点A，与题意不符．
当时，直线l的方程为．显然，此时直线l经过定点点，且不过点A．
综上，k与b的关系是：，且直线l经过定点点．