Question

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P（4，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点．

Answer

（Ⅰ）由题意知，所以a2=4b2，由此可知椭圆C的方程为．
（Ⅱ）由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=k（x-4）．由题设得（4k2+1）x2-32k2x+64k2-4=0．由此入手可知直线PN的斜率的取值范围是：．
（Ⅲ）设点N（x1，y1），E（x2，y2），则M（x1，-y1）．直线ME的方程为．令y=0，得．由此入手可知直线ME与x轴相交于定点（1，0）．
【解析】
（Ⅰ）由题意知，
所以，即a2=4b2，∴a=2b
又因为，∴a=2，故椭圆C的方程为．（4分）
（Ⅱ）由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=k（x-4）．
由得（4k2+1）x2-32k2x+64k2-4=0．①（6分）
由△=（-32k2）2-4（4k2+1）（64k2-4）＞0，得12k2-1＜0，∴（8分）
又k=0不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是：．（9分）
（Ⅲ）设点N（x1，y1），E（x2，y2），则M（x1，-y1）．
直线ME的方程为．令y=0，得．（11分）
将y1=k（x1-4），y2=k（x2-4）代入整理，得．②
由①得，代入②整理，得x=1．（13分）
所以直线ME与x轴相交于定点（1，0）．（14分）