Question

已知椭圆C过点是椭圆的左焦点，P、Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A．

Answer

（1）设椭圆C的方程为，由已知列出关于a，b的方程组，解之即得椭圆的标准方程为；
（2）先设P（x1，y1），Q（x2，y2），2|MF|=|PE|+|QF|，得出x1+x2=2，下面对x1与x2关系进行分类讨论：①当x1≠x2时，②当x1=x2时，分别求得线段PQ的中垂线方程，看它是否经过一个定点A．
【解析】
（1）设椭圆C的方程为，由已知，
得，解得
所以椭圆的标准方程为，
（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），由椭圆的标准方程为，
可知|PF|===
同理|OF|=，|MF|=，
∵2|MF|=|PE|+|QF|，∴，∴x1+x2=2，
①当x1≠x2时，由，得x12-x22+2（y12-y22）=0，
∴
设线段PQ的中点为N（1，n），由，
得线段PQ的中垂线方程为y-n=2n（x-1）
∴（2x-1）n-y=0，该直线恒过一定点A（，0），
②当x1=x2时，P（1，-），Q（1，）或P（1，），Q（1，-）
线段PQ的中垂线是x轴，也过点A（，0），
∴线段PQ的中垂线过点A（，0）．