Question

我们定义双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线与直线y=±b的交点为“虚近点”，如图点P是双曲线C在第一象限的渐近点，直线y=b与双曲线C的左、右分支分别交于点A、B，F₁、F₂分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点．
（1）求证：PF₁⊥PF₂；
（2）求证：PF₁平分∠APO；
（3）你能否在未证明（1）下，直接证明（2）？请写下你的理由．

Answer

（1）根据题意，分析“虚近点”的定义，联立由得P的坐标，由向量数量积的公式，计算，可得其结果为0，即可证PF1⊥PF2；
（2）由（1）知△F1PF2为直角三角形，且O为斜边F1F2的中点，由直角三角形的性质，可得∠OF1P=∠OPF1，进而可得∠OF1P=∠APF1，即可证PF1平分∠APO；
（3）由（1）可得P的坐标，可得|OP|=C，又由|OF1|=c，可得∠OF1P=∠OPF1，进而根据AB∥F1F2，得∠OF1P=∠APF1，即可得∠OPF1=∠APF1，即可证PF1平分∠APO．
证明：（1）双曲线C在第一、三象限的渐近线方程为y=x，
由得P（a，b），
∴=（-c-a，-b）•（c-a，-b）=a2-c2+b2=0，
得PF1⊥PF2；
（2）由（1）知△F1PF2为直角三角形，且O为斜边F1F2的中点，
∴OP=OF1，有∠OF1P=∠OPF1，
又∵AB∥F1F2，得∠OF1P=∠APF1，
∴∠OPF1=∠APF1，
∴PF1平分∠APO，同理得证PF2平分∠BPO；
（3）能直接证明，证明如下：
同（1）的方法，可求得P（a，b），
∴|OP|==c，
又∵|OF1|=c，∴∠OF1P=∠OPF1，
又∵AB∥F1F2，得∠OF1P=∠APF1，∴∠OPF1=∠APF1，
∴PF1平分∠APO．