Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的A₁C₁面上有一点P（如图所示，其中P点不在对角线B₁D₁上）．
（1）过P点在空间作一直线l，使l∥直线BD，应该如何作图？并说明理由；
（2）过P点在平面A₁C₁内作一直线m，使m与直线BD成α角，其中α∈（0，]，这样的直线有几条，应该如何作图？

Answer

（1）在平面A1C1内过P作直线l，使l∥B1D1，则l∥直线BD．
（2）在平面A1C1内作直线m，使直线m与B1D1相交成α角，则由 B1D1∥BD知，m与BD所成的角也是α，α=时，这样的直线m有且只有一条，当α≠时，这样的直线m有两条．
【解析】
（1）连接B1D1，在平面A1C1内过P作直线l，使l∥B1D1，则l即为所求作的直线．
∵B1D1∥BD，l∥B1D1，∴l∥直线BD；
（2）在平面A1C1内作直线m，使直线m与B1D1相交成α角，
∵BD∥B1D1，∴直线m与直线BD也成α角，即直线m为所求作的直线．
由图知m与BD是异面直线，且m与BD所成的角α∈（0，]．
当α=时，这样的直线m有且只有一条，当α≠时，这样的直线m有两条．