Question

如图，在六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方形，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，DD₁⊥平面ABCD，DD₁=2．
（Ⅰ）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；
（Ⅱ）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；
（Ⅲ）求二面角A-BB1-C的大小（用反三角函数值圾示）．

Answer

（Ⅰ）根据D1D⊥平面A1B1C1D1，D1D⊥平面ABCD，则D1D⊥DA，D1D⊥DC，而平面A1B1C1D1∥平面ABCD，则C1D1∥CD，D1A1∥DA，设E，F分别为DA，DC的中点，连接EF，A1E，C1F，易证A1C1∥AC，从而A1C1与AC共面，过点B1作B1O⊥平面ABCD于点O，连接OE，OF，则点O在BD上，从而D1B1与DB共面．
（Ⅱ）欲证平面A1ACC1⊥平面B1BDD1，根据面面垂直的判定定理可知在平面A1ACC1内一直线与平面B1BDD1垂直，因D1D⊥平面ABCD，则D1D⊥AC，又BD⊥AC，D1D与BD是平面B1BDD1内的两条相交直线，则AC⊥平面B1BDD1，又平面A1ACC1过AC，满足定理所需条件；
（Ⅲ）直线DB是直线B1B在平面ABCD上的射影则AC⊥DB，根据三垂线定理，有AC⊥B1B．过点A在平面ABB1A1内作AM⊥B1B于M，连接MC，MO，
则B1B⊥平面AMC，∠AMC是二面角A-B1B-C的一个平面角，在三角形AMC中求出此角即可．
【解析】

（Ⅰ）证明：∵D1D⊥平面A1B1C1D1，D1D⊥平面ABCD．
∴D1D⊥DA，D1D⊥DC，平面A1B1C1D1∥平面ABCD．
于是C1D1∥CD，D1A1∥DA．
设E，F分别为DA，DC的中点，连接EF，A1E，C1F，
有A1E∥D1D，C1F∥D1D，DE=1，DF=1．∴A1E∥C1F，
于是A1C1∥EF．由DE=DF=1，得EF∥AC，
故A1C1∥AC，A1C1与AC共面．
过点B1作B1O⊥平面ABCD于点O，
则，连接OE，OF，
于是，，∴OE=OF．
∵B1A1⊥A1D1，∴OE⊥AD．∵B1C1⊥C1D1，∴OF⊥CD．
所以点O在BD上，故D1B1与DB共面．
（Ⅱ）证明：∵D1D⊥平面ABCD，∴D1D⊥AC，
又BD⊥AC（正方形的对角线互相垂直），
D1D与BD是平面B1BDD1内的两条相交直线，∴AC⊥平面B1BDD1．
又平面A1ACC1过AC，∴平面A1ACC1⊥平面B1BDD1．
（Ⅲ）【解析】
∵直线DB是直线B1B在平面ABCD上的射影，AC⊥DB，
根据三垂线定理，有AC⊥B1B．
过点A在平面ABB1A1内作AM⊥B1B于M，连接MC，MO，
则B1B⊥平面AMC，
于是B1B⊥MC，B1B⊥MO，
所以，∠AMC是二面角A-B1B-C的一个平面角．
根据勾股定理，有．
∵OM⊥B1B，有，
，，．
，
，
二面角A-BB1-C的大小为．