Question

如图是一个直三棱柱（以A₁B₁C₁为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A₁B₁=B₁C₁=1，∠A₁B₁C₁=90°，AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3．
（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A₁B₁C₁；
（2）求二面角B-AC-A₁的大小；
（3）求此几何体的体积．

Answer

（1）由题意及图形，利用直三棱柱的特点，因为O为中点连接OD，由题意利用借助线面垂直的判定定理证明OC∥平面A1B1C1；
（2）由题意利用三垂线定理找到二面角的平面角，在三角形中进行求解二面角的大小；
（3）由题意及图形利用体积分割的方法，把不规则的几何体分割成两个规则的几何体，利用相应的体积公式进行求解．
（1）证明：作OD∥AA1交A1B1于D，连C1D．
则OD∥BB1∥CC1．
因为O是AB的中点，
所以OD=．
则ODC1C是平行四边形，因此有OC∥C1D．C1D⊂平面C1B1A1且OC⊄平面C1B1A1，
则OC∥面A1B1C1．
（2）如图，过B作截面BA2C2∥面A1B1C1，分别交AA1，CC1于A2，C2．
作BH⊥A2C2于H，连CH．
因为CC1⊥面BA2C2，所以CC1⊥BH，则BH⊥平面A1C．
又因为AB=，BC=，AC=．
所以BC⊥AC，根据三垂线定理知CH⊥AC，所以∠BCH就是所求二面角的平面角．
因为BH=，所以sin∠BCH=，故∠BCH=30°，
即：所求二面角的大小为30°．
（3）因为BH=，所以=．=•2=1．
所求几何体体积为=．