Question

如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB，PC的中点；若P-CD-A为45°的二面角，求证：平面MND⊥平面PDC；

Answer

先由PA⊥矩形ABCD所在的平面⇒CD⊥面PAD⇒CD⊥PD⇒∠PDA是二面角P-CD-A的平面角⇒AE⊥面PCD．又由EN平行且等于AM⇒MN∥AE⇒MN⊥面PCD即可证得结论成立．
【解析】
仅仅观察平面MND和平面PDC，很难发现垂直的线索；
从二面角P-CD-A入手，易见CD⊥AD，CD⊥AP，
∴CD⊥面PAD，∴CD⊥PD，即∠PDA是二面角P-CD-A的平面角，
∴∠PDA=45°，那么在Rt△PAD中有AP=AD，
取PD中点E，则AE⊥PD，又由CD⊥面PAD得CD⊥AE，故AE⊥面PCD；
而EN平行且等于DC，即EN平行且等于AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，即MN∥AE；于是有MN⊥面PCD，
又∵MN在面MND内，
∴平面MND⊥平面PDC．