Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁，∠BAC=90°，D为棱BB₁的中点
（Ⅰ）求异面直线C₁D与A₁C所成的角；
（Ⅱ）求证：平面A₁DC⊥平面ADC．

Answer

解法一：在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中，也可以建立空间直角坐标系，设定参量求解．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．设AB=a，则A1（0，0，2a），C（0，a，0），C1（0，a，2a），D（a，0，a）
（Ⅰ）=（a，-a，-a），=（0，a，-2a）
（Ⅱ）又∵=（a，0，-a），=（0，a，0），∴⊥，⊥，∴A1D⊥平面ACD
解法二：
（Ⅰ）求异面直线所成的角，可用几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．连接AC1交A1C于点E，取AD中点F，连接EF，则EF∥C1D，∴直线EF与A1C所成的角就是异面直线C1D与A1C所成的角．
（Ⅱ）欲证平面A1DC⊥平面ADC，先证直线与平面垂直，由题意可得：AC⊥A1D，AD⊥A1D，∴A1D⊥平面ACD，又A1D⊂平面A1CD，∴平面A1DC⊥平面ADC
【解析】
解法一：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系设AB=a，
则A1（0，0，2a），C（0，a，0），C1（0，a，2a），D（a，0，a）（2分）
于是=（a，-a，-a），=（0，a，-2a）
∵cos＜，＞===，（6分）
∴异面直线C1D与A1C所成的角为arccos（7分）
（Ⅱ）∵=（a，0，-a），=（0，a，0），
∴•=a2+0-a2=0，•=0（10分）
则⊥，⊥
∴A1D⊥平面ACD（12分）
又A1D⊂平面A1CD，
∴平面A1DC⊥平面ADC（14分）
解法二：
（Ⅰ）连接AC1交A1C于点E，取AD中点F，连接EF，则EF∥C1D
∴直线EF与A1C所成的角就是异面直线C1D与A1C所成的角（2分）
设AB=a，
则C1D==a，
A1C==a，AD==a．
△CEF中，CE=A1C=a，EF=C1D=a，
直三棱柱中，∠BAC=90°，则AD⊥AC（4分）
CF===a（4分）
∵cos∠CEF===，（6分）
∴异面直线C1D与A1C所成的角为arccos（7分）
（Ⅱ）直三棱柱中，∠BAC=90°，∴AC⊥平面ABB1A1，则AC⊥A1D（9分）
又AD=a，A1D=a，AA1=2a，
则AD2+A1D2=AA12，于是AD⊥A1D（12分）
∴A1D⊥平面ACD又A1D⊂平面A1CD，
∴平面A1DC⊥平面ADC（14分）