Question

在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，已知AB=AD=4，AA₁=3，∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=，
（1）求AC₁的长；
（2）求平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积．

Answer

（1）记A1在面ABCD内的射影为O，O在∠BAD的平分线上，说明∠BAD的平分线即菱形ABCD的对角线AC，求AC1的长
（2）求出底面面积，求出高，即可求平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积．
【解析】
（1）记A1在面ABCD内的射影为O，
∵∠A1AB=∠A1AD，∴O在∠BAD的平分线上，
又AB=AD，∴∠BAD的平分线即菱形ABCD的
对角线AC，故O在AC上；∵cos∠A1AB=cos∠A1AO×cos∠OAB
∴cos∠A1AO=，∴sin∠A1AO=，AO=
cos∠ACC1=-；又AC=4，在△ACC1中由余弦定理得AC1=9；
所以AC1=9；

（2）在△A1AO中，A1O=，
VABCD-A1B1C1D1==24．
 注：求AC1的长还可以用向量：，平方即可．