Question

某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80
元/米²，水池所有墙的厚度忽略不计．
（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．

Answer

（1）污水处理池的底面积一定，设宽为x米，可表示出长，从而得出总造价f（x），利用基本不等式求出最小值；
（2）由长和宽的限制条件，得自变量x的范围，判断总造价函数f（x）在x的取值范围内的函数值变化情况，求得最小值．
【解析】
（1）设污水处理池的宽为x米，则长为米．
则总造价f（x）=400×（2x+）+248×2x+80×162=1296x++12960
=1296（x+）+12960≥1296×2×+12960=38880（元），
当且仅当x=（x＞0），即x=10时，取等号．
∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元．
（2）由限制条件知，∴10≤x≤16．
设g（x）=x+（10≤x≤16），
由函数性质易知g（x）在[10，16]上是增函数，
∴当x=10时（此时=16），g（x）有最小值，即f（x）有最小值
1296×（10+）+12960=38882（元）．
∴当长为16米，宽为10米时，总造价最低，为38882元．