Question

实数x，y满足．
（1）若，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；
（2）若z=x²+y²，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围．

Answer

（1）表示的是区域内的点与原点连线的斜率．故的最值问题即为直线的斜率的最大值与最小值．
（2）z=x2+y2的最值表示的是区域内的点与原点的两点距离的平方的最大值、最小值．
【解析】
由．作出可行域如图阴影部分所示：
（1）表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，
因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率（OA斜率不存在）．
而由得B（1，2），∴．
∴zmax不存在，zmin=2，∴z的取值范围是[2，+∞）．
（2）z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点的两点间距离的平方．
因此x2+y2的范围最小为|OA|2（取不到），最大为|OB|2．由得A（0，1），
∴|OA|2=，|OB|2=．
∴zmax=5，z无最小值．故z的取值范围是（1，5]．