Question

已知函数f（x）=（1+cotx）sin²x-2sin（x+）sin（x-）．
（1）若tanα=2，求f（α）；
（2）若x∈[，]，求f（x）的取值范围．

Answer

（1）利用正切化为正弦、余弦，利用两角和与差的三角函数展开，二倍角公式的应用化为，通过tanα=2，求出sin2α，cos2α，然后求出f（α）；
（2）化简函数为：，由x∈[，]，求出2x+的范围，然后求f（x）的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）=（1+cotx）sin2x-2sin（x+）sin（x-）=sin2x+sinxcosx+cos2x
=+=
∵tanα=2，∴sin2α=2sinαcosα===，
cos2α==

=
由tanα=2得，
，
所以．
（2）由（1）得
由得，所以
从而．