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设a为非负实数,函数f(x)=x|x-a|-a. (Ⅰ)当a=2时,求函数的单调...

设a为非负实数,函数f(x)=x|x-a|-a.
(Ⅰ)当a=2时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)讨论函数y=f(x)的零点个数,并求出零点.
(I)先讨论去绝对值,写成分段函数,然后分别当x≥2时与当x<2时的单调区间; (II)讨论a的正负,利用二次函数的单调性以及函数的极小值与0进行比较,进行分别判定函数y=f(x)的零点个数. 【解析】 (Ⅰ)当a=2时,,①当x≥2时,f(x)=x2-2x-2=(x-1)2-3, ∴f(x)在(2,+∞)上单调递增; ②当x<2时,f(x)=-x2+2x-2=-(x-1)2-1, ∴f(x)在(1,2)上单调递减,在(-∞,1)上单调递增; 综上所述,f(x)的单调递增区间是(-∞,1)和(2,+∞),单调递减区间是(1,2). (Ⅱ)(1)当a=0时,f(x)=x|x|,函数y=f(x)的零点为x=0; (2)当a>0时,, 故当x≥a时,,二次函数对称轴, ∴f(x)在(a,+∞)上单调递增,f(a)<0; 当x<a时,,二次函数对称轴, ∴f(x)在上单调递减,在上单调递增; ∴f(x)的极大值为, 1°当,即0<a<4时,函数f(x)与x轴只有唯一交点,即唯一零点, 由x2-ax-a=0解之得函数y=f(x)的零点为或(舍去); 2°当,即a=4时,函数f(x)与x轴有两个交点,即两个零点,分别为x1=2和; 3°当,即a>4时,函数f(x)与x轴有三个交点,即有三个零点, 由-x2+ax-a=0解得,, ∴函数y=f(x)的零点为和. 综上可得,当a=0时,函数的零点为0; 当0<a<4时,函数有一个零点,且零点为; 当a=4时,有两个零点2和; 当a>4时,函数有三个零点和.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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