Question

正实数数列{a_n}中，a₁=1，a₂=5，且{a_n²}成等差数列．
（1）证明数列{a_n}中有无穷多项为无理数；
（2）当n为何值时，a_n为整数，并求出使a_n＜200的所有整数项的和．

Answer

（1）由a1=1，a2=5且{an2}成等差数列，求出an2的通项公式，由通项公式分析出无理数；
（2）由an的表达式讨论使an＜200的整数项，从而求出所有整数项的和．
（1）证明：由已知有：an2=1+24（n-1），从而，
方法一：取n-1=242k-1，则
用反证法证明这些an都是无理数．
假设为有理数，则an必为正整数，且an＜24k，
故an-24k≥1．an-24k＞1，与（an-24k）（an+24k）=1矛盾，
所以都是无理数，即数列an中有无穷多项为无理数；
（2）要使an为整数，由（an-1）（an+1）=24（n-1）可知：
an-1，an+1同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有an-1=6m或an+1=6m
当an=6m+1时，有an2=36m2+12m+1=1+12m（3m+1）（m∈N）
又m（3m+1）必为偶数，所以an=6m+1（m∈N）满足an2=1+24（n-1）
即（m∈N）时，an为整数；
同理an=6m-1（m∈N+）有an2=36m2-12m+1=1+12（3m-1）（m∈N+）
也满足an2=1+24（n-1），即（m∈N+）时，an为整数；
显然an=6m-1（m∈N+）和an=6m+1（m∈N）是数列中的不同项；
所以当（m∈N）和（m∈N+）时，an为整数；
由an=6m+1＜200（m∈N）有0≤m≤33，
由an=6m-1＜200（m∈N+）有1≤m≤33．
设an中满足an＜200的所有整数项的和为S，则
S=（5+11+…+197）+（1+7+…+199）=