Question

在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是，．两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮．假设每人每次投篮命中与否均互不影响．
（Ⅰ）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；
（Ⅱ）若投篮命中一次得1分，否则得0分．用ξ表示甲的总得分，求ξ的分布列和数学期望．

Answer

（Ⅰ）由题意知两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮．每人每次投篮命中与否均互不影响，本题是相互独立事件同时发生的概率，由公式可得到结果．
（2）用ξ表示甲的总得分，因为共投篮三次，所以变量的取值是0、1、2、3，结合变量对应的事件，做出概率，写出分布列和期望．
【解析】
（Ⅰ）由题意知两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮．
每人每次投篮命中与否均互不影响，本题是相互独立事件同时发生的概率，
记“3次投篮的人依次是甲、甲、乙”为事件A．
由题意，得．
即3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是．
（Ⅱ）【解析】
由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，
∴，
，
，
．
∴ξ的分布列为：

∴ξ的数学期望．