Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：CD∥平面A₁EB；
（Ⅱ）求证：AB₁⊥平面A₁EB；
（Ⅲ）求直线B₁E与平面AA₁C₁C所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）设AB1和A1B的交点为O，连接EO，连接OD，根据三角形中位线定理可以证明四边形ECOD为平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；
（Ⅱ）因为三棱柱各侧面都是正方形，所以BB1⊥AB，BB1⊥BC．所以BB1⊥平面ABC．因为CD⊂平面ABC，所以BB1⊥CD，可证CD⊥平面A1ABB1，再利用直线与平面垂直的判定定理进行证明；
（Ⅲ）取A1C1中点F，连接B1F，EF，易知侧面ACC1A1⊥底面A1B1C1，∠FEB1是B1E与平面AA1C1C所成角，然后构造直角三角形，在直角三角形中求其正弦值，从而求解．
证明：（Ⅰ）设AB1和A1B的交点为O，连接EO，连接OD．
因为O为AB1的中点，D为AB的中点，
所以OD∥BB1且．又E是CC1中点，
所以EC∥BB1且，
所以EC∥OD且EC=OD．
所以，四边形ECOD为平行四边形．所以EO∥CD．
又CD⊄平面A1BE，EO⊂平面A1BE，则CD∥平面A1BE．（5分）
（Ⅱ）因为三棱柱各侧面都是正方形，所以BB1⊥AB，BB1⊥BC．
所以BB1⊥平面ABC．
因为CD⊂平面ABC，所以BB1⊥CD．
由已知得AB=BC=AC，所以CD⊥AB，
所以CD⊥平面A1ABB1．
由（Ⅰ）可知EO∥CD，所以EO⊥平面A1ABB1．
所以EO⊥AB1．
因为侧面是正方形，所以AB1⊥A1B．
又EO∩A1B=O，EO⊂平面A1EB，A1B⊂平面A1EB，
所以AB1⊥平面A1BE．（10分）

（Ⅲ）【解析】
取A1C1中点F，连接B1F，EF．
在三棱柱ABC-A1B1C1中，因为BB1⊥平面ABC，
所以侧面ACC1A1⊥底面A1B1C1．
因为底面A1B1C1是正三角形，且F是A1C1中点，
所以B1F⊥A1C1，所以B1F⊥侧面ACC1A1．
所以EF是B1E在平面ACC1A1上的射影．
所以∠FEB1是B1E与平面AA1C1C所成角
.．（14分）

解法二：如图所示，建立空间直角坐标系．
设边长为2，可求得A（0，0，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），A1（0，0，2），，，E（0，2，1），，．
（Ⅰ）易得，，．所以，所以EO∥CD．
又CD⊄平面A1BE，EO⊂平面A1BE，则CD∥平面A1BE．（5分）
（Ⅱ）易得，，，
所以．
所以AB1⊥A1B，AB1⊥A1E．
又因为A1B∩A1E=A1，A1B，A1E⊂平面A1BE，
所以AB1⊥平面A1BE．（10分）
（Ⅲ）设侧面AA1C1C的法向量为n=（x，y，z），
因为A（0，0，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），A1（0，0，2），
所以，．
由得解得
不妨令n=（1，0，0），设直线B1E与平面AA1C1C所成角为α．
所以．
所以直线B1E与平面AA1C1C所成角的正弦值为．（14分）