Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点，过点P（2，1）的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求直线l的方程以及点M的坐标；
（Ⅲ）是否存在过点P的直线l₁与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足？若存在，求直线l₁的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由题意解得a2=4，b2=3，故椭圆C的方程为．
（Ⅱ）因为过点P（2，1）的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-2）+1．所以（3+4k2）x2-8k（2k-1）x+16k2-16k-8=0．因为直线l与椭圆相切，所以△=[-8k（2k-1）]2-4（3+4k2）（16k2-16k-8）=0．解得．由此可知切点M坐标为．
（Ⅲ）若存在直线l1满足条件，设直线l1的方程为y=k1（x-2）+1，代入椭圆C的方程得（3+4k12）x2-8k1（2k1-1）x+16k12-16k1-8=0．设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由△=[-8k1（2k1-1）]2-4（3+4k12）（16k12-16k1-8）=32（6k1+3）＞0．知．由此可知存在直线l1满足条件，其方程为．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由题意得
解得a2=4，b2=3，故椭圆C的方程为．（4分）
（Ⅱ）因为过点P（2，1）的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-2）+1．
由得（3+4k2）x2-8k（2k-1）x+16k2-16k-8=0．①
因为直线l与椭圆相切，所以△=[-8k（2k-1）]2-4（3+4k2）（16k2-16k-8）=0．
整理，得32（6k+3）=0．
解得．
所以直线l方程为．
将代入①式，可以解得M点横坐标为1，故切点M坐标为．（9分）
（Ⅲ）若存在直线l1满足条件，设直线l1的方程为y=k1（x-2）+1，代入椭圆C的方程得（3+4k12）x2-8k1（2k1-1）x+16k12-16k1-8=0．
因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
所以△=[-8k1（2k1-1）]2-4（3+4k12）（16k12-16k1-8）=32（6k1+3）＞0．
所以．
又，，
因为，即，
所以．
即，
所以，解得．
因为A，B为不同的两点，所以．
于是存在直线l1满足条件，其方程为．（13分）