Question

若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列．已知数列{a_n}是调和数列，对于各项都是正数的数列{x_n}，满足（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明数列{x_n}是等比数列；
（Ⅱ）把数列{x_n}中所有项按如图所示的规律排成一个三角形数表，当x₃=8，x₇=128时，求第m行各数的和；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列{x_n}，证明：．

Answer

（Ⅰ）由题设条件知anlgxn=an+1lgxn+1=an+2lgxn+2．设anlgxn=an+1lgxn+1=an+2lgxn+2=p，有，由此导出xn+12=xnxn+2，所以数列{xn}是等比数列．
（Ⅱ）由题意知{xn}的公比为q=2．xn=x3qn-3=8×2n-3=2n．由此能够推导出第m行各数的和为．
（Ⅲ）由xn=2n，知．所以．
由此入手能够导出．
【解析】
（Ⅰ）证明：因为，且数列{xn}中各项都是正数，
所以anlgxn=an+1lgxn+1=an+2lgxn+2．
设anlgxn=an+1lgxn+1=an+2lgxn+2=p，①
因为数列{an}是调和数列，故an≠0，．
所以，．②
由①得，代入②式得，
所以2lgxn+1=lgxn+lgxn+2，即lgxn+12=lg（xnxn+2）．
故xn+12=xnxn+2，所以数列{xn}是等比数列．（5分）
（Ⅱ）设{xn}的公比为q，则x3q4=x7，即8q4=128．由于xn＞0，故q=2．
于是xn=x3qn-3=8×2n-3=2n．
注意到第n（n=1，2，3，）行共有n个数，
所以三角形数表中第1行至第m-1行共含有个数．
因此第m行第1个数是数列{xn}中的第项．
故第m行第1个数是，
所以第m行各数的和为．（9分）
（Ⅲ）因为xn=2n，所以．
所以．
又=（k=1，2，3，，n），
所以
=．
所以．（14分）