设抛物线y2=4ax（a＞0）的焦点为A，以B（a+4，0）为圆心，|AB|为半...

设抛物线y²=4ax（a＞0）的焦点为A，以B（a+4，0）为圆心，|AB|为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点M、N，点P是MN的中点．
（1）求|AM|+|AN|的值；
（2）是否存在实数a，恰使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列？若存在，求出a，若不存在，说明理由．

先设M、N、P在抛物线的准线上的射影分别为M′，N′，P′，根据抛物线的定义可得到|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=xM+xN+2a，然后联立抛物线与圆的方程消去y得到关于x的一元二次方程，进而可得到两根之和，即可得到|AM|+|AN|的值．（2）先假设存在a满足条件，根据2|AP|=|AM|+|AN|，再由∵|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=2|PP′|可得到|，|AP|=|PP′|，故可得到点P必在抛物线上，但与点P是弦MN的中点矛盾，可得到结论．【解析】（1）设M、N、P在抛物线的准线上的射影分别为M′，N′，P′，由抛物线定义得：|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=xM+xN+2a，又圆的方程为[x-（a+4）]2+y2=16，将y2=4ax代入得：x2-2（4-a）•x+a2+8a=0，∴xM+xN=2（4-a），所以|AM|+|AN|=8．（2）假设存在这样的a，使得：2|AP|=|AM|+|AN|， ∵|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=2|PP′|， ∴|AP|=|PP′|．由定义知点P必在抛物线上，这与点P是弦MN的中点矛盾，所以这样的a不存在．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等