Question

经过抛物线y²=2px的焦点F作倾角为θ的直线，若该直线与抛物线交于P₁、P₂两点．
（1）求|P₁P₂|；
（2）当θ变化时，求|P₁P₂|的最小值．

Answer

（1）根据题意可求得抛物线的焦点，进而可求得直线的方程，设P1（x1，y1），P2（x2，y2）把直线与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理求得x1+x2，然后根据抛物线定义可求得|P1P2|=x1+x2+p，答案可得．
（2）根据（1）中关于|P1P2|的表达式化简整理后可知当θ=时，由最小值．
【解析】
（1）抛物线焦点坐标为（，0），
当θ=90°时，将x=代入，可解得P1、P2两点的纵坐标分别为-p，p，此时有|P1P2|=2p；
当θ≠90°时，则直线方程为y=tanθ（x-），P1（x1，y1），P2（x2，y2）
代入抛物线方程得tan2θx2-（tan2θp+2p）x+=0
则x1+x2=
根据抛物线定义可知|P1P2|=x1+x2+=x1+x2+p==
又θ=90°时，2p=
∴|P1P2|=
（2）由（1）可知|P1P2|=，
∵-1≤sinθ≤1，
∴≥2p，当θ=90°时等号成立
即|P1P2|的最小值为2p．