Question

如图，直线l₁和l₂相交于点M，l₁⊥l₂，点N∈l₁．以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l₂的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．

Answer

方法一：由抛物线的定义知该曲线段是一段抛物线，建立适当的坐标系，依据题意求参数值．用定义法写出抛物线的方程．
方法二：建立相应的坐标系，设出曲线段C上的任意一点的坐标（x，y），依据题意曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等得出方程整理即得抛物线的方程．
【解析】
法一：如图建立坐标系，
以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．
依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点．
设曲线段C的方程为
y2=2px（p＞0），（xA≤x≤xB，y＞0），
其中xA，xB分别为A，B的横坐标，p=|MN|．
所以M（，0），N（，0）．
由|AM|=，|AN|=3得
（xA+）2+2pxA=17，①
（xA-）2+2pxA=9．②
由①，②两式联立解得xA=．再将其代入①式并由p＞0解得
因为△AMN是锐角三角形，所以＞xA，故舍去
所以p=4，xA=1．
由点B在曲线段C上，得xB=|BN|-=4．
综上得曲线段C的方程为
y2=8x（1≤x≤4，y＞0）．

解法二：如图建立坐标系，
分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点．
作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为E、D、F．
设A（xA，yA）、B（xB，yB）、N（xN，0）．
依题意有
xA=|ME|=|DA|=|AN|=3，
yA=|DM|=，
由于△AMN为锐角三角形，故有
xN=|ME|+|EN|
=|ME|+=4
xB=|BF|=|BN|=6．
设点P（x，y）是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合
{（x，y）|（x-xN）2+y2=x2，xA≤x≤xB，y＞0}．
故曲线段C的方程为y2=8（x-2）（3≤x≤6，y＞0）．