Question

给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L=1275．现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：
首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r₁与所有可能的其他选择相比是最小的，r₁称为第一组余差；
然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为r₂；如此继续构成第三组（余差为r₃）、第四组（余差为r₄）、…，直至第N组（余差为r_N）把这些数全部分完为止．
（I）判断r₁，r₂，…，r_N的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数
（II）当构成第n（n＜N）组后，指出余下的每个数与r_n的大小关系，并证明
（III）对任何满足条件T的有限个正数，证明：N≤11．

Answer

（I）由r1≤r2≤≤rN，知除第N组外的每组至少含有个数．
（II）当第n组形成后，因为n＜N，所以L-[（150-r1）+（150-r2）++（150-rn）]＞rn，由此可得r1+r2+…+rn-1＞150n-L
，从而能够证明．
（III）假设N＞11，即第11组形成后，还有数没分完，余下的每个数，因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于37.5×3=112.5，r11＜37.5，与r11＞37.5矛盾，所以N≤11．
【解析】
（I）r1≤r2≤≤rN．除第N组外的每组至少含有个数
（II）当第n组形成后，因为n＜N，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差rn，余下数之和也大于第n组的余差rn，即L-[（150-r1）+（150-r2）++（150-rn）]＞rn
由此可得r1+r2++rn-1＞150n-L
因为（n-1）rn-1≥r1+r2++rn-1，所以
（III）用反证法证明结论，假设N＞11，即第11组形成后，还有数没分完，由（I）和（II）可知，余下的每个数都大于第11组的余差r11，且r11≥r10
故余下的每个数（*）
因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于37.5×3=112.5
此时第11组的余差r11=150-第11组数之和＜150-112.5=37.5
这与（*）式中r11＞37.5矛盾，所以N≤11．