Question

如图，M是抛物线上y²=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB．
（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程．

Answer

（1）可用待定系数法设出两直线的方程，用参数表示出两点E，F的坐标，用两点式求了过两点的直线的斜率，验证其是否与参数无关，若无关，则说明直线EF的斜率为定值．
（2）设出点M的坐标，如（1）用参数表示出点E，F的坐标，再由重心坐标与三角形的三个顶点的坐标之间的关系将其表示出来，消参数即可得重心的方程．
【解析】
（1）设M（y2，y），直线ME的斜率为k（k＞0），则直线MF的斜率为-k
直线ME的方程为y-y=k（x-y2），由
消去x得ky-y+y（1-ky）=0，解得yE=，xE=
同理可得yF=，xF=
∴kEF=，将坐标代入得kEF=-（定值）
所以直线EF的斜率为定值．

（2）当∠EMF=90°时，∠MAB=45°，所以k=1
∴直线ME的方程为：y-y=x-y2，
由得E（（1-y）2，1-y）
同理可得F（（1+y）2，-（1+y）），
设重心为G（x，y），则有
代入坐标得
消去参数y得y2=x-（x＞）