Question

函数f（x）=其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}．给出下列四个判断，其中正确判断有（ ）
①若P∩M=∅，则f（P）∩f（M）=∅；
②若P∩M≠∅，则f（P）∩f（M）≠∅；
③若P∪M=R，则f（P）∪f（M）=R；
④若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

由函数的表达式知，可借助两个函数y=x与y=-x图象来研究，分析可得答案．
【解析】
由题意知函数f（P）、f（M）的图象如图所示．
设P=[x2，+∞），M=（-∞，x1]，
∵|x2|＜|x1|，f（P）=[f（x2），+∞），
f（M）=[f（x1），+∞），则P∩M=∅．
而f（P）∩f（M）=[f（x1），+∞）≠∅，故①错误．
同理可知②正确．设P=[x1，+∞），M=（-∞，x2]，
∵|x2|＜|x1|，则P∪M=R．
f（P）=[f（x1），+∞），f（M）=[f（x2），+∞），
f（P）∪f（M）=[f（x1），+∞）≠R，
故③错误．
④若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R．这是不对的 若P={非负实数}，M={正实数}
则f（P）={非负实数}，f（M）={负实数}
则f（P）∪f（M）=R．
故④错
故选A